Dictee - dictees [2201]
Beetje wiskunde (2)...
De vorige keer is de formule voor (a+b)(a-b) met een meetkundig plaatje uitgelegd. Ik doe dat nu voor (a+b)(a+b) oftewel (a+b)2. Dat is een stuk gemakkelijker! Zie afb. 2 hieronder. Het totaal hiervan omvat de gebieden I, II, III en IV, die resp. a2, ab, b2 en ba (= ab) zijn, opgeteld: a2 + ab + b2 + ab = a2+2ab+b2. De gezochte formule is dus (a+b)2 = a2+2 ab+b2. Voorbeelden: 73 x 73 = (70+3)2 = 702 + 2x70x3 +32 = 4900 + 420 + 9 = 5329 en 79 x 79 = (70+9)2 = 702 + 2x70x9 + 92 = 4900 + 1260 + 81 = 6241. Overigens kun je 792 handiger uitrekenen als (80-1)2. Ik kom daar nog op terug. Vast dit: kies het dichtstbijzijnde tiental, hetzij met een + (tiental eronder), hetzij met een – (tiental erboven)! Nog een opmerking: als je 73 x 73 op z’n janboerenfluitjes doet als (70+3)(70 + 3) = 70x70 +70x3 +3x70 + 3x3 = 4900 + 210 + 210 + 9 = 5329, gaat dat vrijwel net zo snel. Nog een opmerking: met een plaatje als afb. 2 kun je ook nog uitleggen dat (a + b) (c + d) gelijk is aan ac + ad + bc + bd: dat deed je in feite met de janboerenfluitjesmethode! En als je tenslotte nog beseft dat je bij (a + b + c + d) (k + l + m + n + p) elk van de 4 letters (termen) van de eerste factor moet combineren met elk van de 5 letters (termen) van de tweede factor (maar dat lukt niet meer met een meetkundig plaatje!) en dat zo een 4-term maal een 5-term een 20-term wordt: ak + al +am + an + ap + bk + bl + bm + bn + bp + ck + cl + cm +cn + cp + dk + dl + dm + dn + dp, dan heb je al wat leuke stappen gezet in het begin van de simpele algebra (rekenen met letters, en dat is zoals je gezien hebt, ook bruikbaar voor (alle!) getallen!
O ja, zie de vorige keer: als het grondtal van een kwadraat op een 5 eindigt, hadden we een slim trucje: 85 x 85 = doe niet 8 x 8, maar 8 x 9 en zet er 25 achter = 7225. De uitleg met de nieuwe formule (a + b)2 = a2 +2 ab + b2 levert: 80 x 80 + 2 x 5 x 80 + 25 = 80 x 80 + 10 x 80 + 25 = (80 + 10) x 80 + 25 = 90 x 80 + 25 = 80 x 90 + 25 = 8 x 9 x 100 + 25 en dat is inderdaad 8 x 9 honderdtallen + 25 erachter, dus 7225. Het is vrij gemakkelijk te bewijzen dat dit zo gaat bij alle kwadraten van getallen die op een 5 eindigen, de algebra die je daarvoor nodig hebt, is niet moeilijk, maar gaat voor dit kader net iets te ver, vandaar dat ik het bij een voorbeeld hou. Maar werk zelf 752 en 1052 zo maar eens uit (rechttoe rechtaan en controleer het antwoord met de truc).
Bij de basisformules mag (a–b)2 niet ontbreken. De uitkomst daarvan is a2 – 2ab + b2. De uitleg doe ik aan de hand van afb. 4: vergelijkbaar lastig met de (a-b)(a+b) van de vorige keer! Gebied I = (a-b)2 – dat moeten we hebben en ik wil beginnen met I + II + III + IV = a2. Ik begin daar dus mee en ik trek eraf: II + III (= ab), resultaat: a2 – ab. Vervolgens trek ik eraf: III + IV (ab), resultaat: a2 – ab – ab = a2 – 2ab. Let nu goed op: als je goed kijkt, heb ik er nu tweemaal (!) gebied III van afgetrokken. Om goed uit te komen, moet je dat gebied (III = b2 ) er dus weer 1 x bij optellen en het resultaat wordt: a2 – 2ab + b2. We hebben nu over gebied I = (a-b)2. De gezochte formule is dus (a-b)2 = a2 – 2ab + b2.
Toepassingen: 792 dus niet doen als (70+9)2 maar als (80-1)2 = 802 – 2 x 80 x 1 + 12 = 6400 - 160 + 1 = 6241 (het antwoord klopt natuurlijk wel met de ‘domme’ manier van hierboven). Nog een laatste voorbeeld: 97 x 97 = (100 – 3)2 = 100 x 100 – 2 x 100 x 3 + 3 x 3 = 10.000 – 600 + 9 = 9409. Best leuk, om zo een beginnetje te maken (met eenvoudige algebra en toepassing daarvan op het rekenen)! Veel succes ermee verder!
Geen opmerkingen:
Een reactie posten