Dictee - dictees [1346]
Driehoeken
1. Van de veelhoeken heeft een driehoek 3 zijden en 3 hoeken. De som van de 3
hoeken is 180o. Een scherphoekige driehoek heeft 3 scherpe hoeken (=
kleiner dan 90o), een stomphoekige driehoek heeft 1 stompe hoek
(tussen 90o en 180o) en dus verder 2 scherpe hoeken, een
rechthoekige driehoek heeft een hoek van 90o en verder 2 scherpe
hoeken (als die allebei 45o zijn hebben we de zogenaamde geo- of
tekendriehoek, elke scholier heeft die in plastic), vervolgens heeft een
gelijkzijdige driehoek drie hoeken van 60 graden en gelijke zijden en een
gelijkbenige driehoek heeft 2 gelijke zijden (de hoeken daartegenover zijn ook
gelijk). Dit kun je allemaal in de Dikke Van Dale terugvinden. De Driehoek met
hoofdletter is een sterrenbeeld op het noordelijk halfrond, de roze driehoek is
het symbool van de homo's. Grappig is (BE) ook nog de anale driehoek, gevormd
door de plaatsen Reet, Kontich en Aartselaar. De gouden driehoek is het
grensgebied van Myanmar (tot 1989: Birma), Thailand en Laos, waar papavers voor
opium gekweekt worden.
2. De vierde letter van het Griekse alfabet is de delta (symbool:
klein δ, groot Δ). De Triad is de driehoek Japan, VS, EU. Denk ook aan de
triangel in de muziek. Met het volgende mag u gerust zelf aan de gang. VD heeft
het over triangulaire of trigonale getallen. Een gebruikelijker naam, maar die
staat niet in VD, is driehoeksgetallen. Hoe zit dat, driehoek is toch
meetkunde, en getallen, dat is toch rekenkunde of algebra? Wel, pak er maar
eens pen en papier bij. Zet bovenaan maar eens een (1) kruisje (x) en daaronder
links en rechts twee kruisjes, zodat er een mooie gelijkzijdige driehoek
ontstaat van drie kruisjes (3). Vervolgens daaronder weer een regelmatig rijtje
van drie kruisjes, u hebt er nu zes (6) en de figuur is een mooie en regelmatige
'opgevulde' gelijkzijdige driehoek van kruisjes. Dit kan je eindeloos zo
voortzetten: na een rijtje van vier eronder heb je er tien (10), daarna met
vijf erbij vijftien (15), en je ziet het al: + 6 = 21, + 7 = 28, + 8 = 36, + 9
is 45 en + 10 = 55. Leuk, jazeker, maar nu komt mijn vraag: als een zijde (neem
voor het gemak dus de onderkant) 100 kruisjes heeft, hoeveel kruisjes staan er
dan totaal in de (opgevulde) gelijkzijdige driehoek? Ja, zult u zeggen, dat is
dus 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100. Even doorbijten, of de rekenmachine
pakken? Kan, maar het kan slimmer: Schrijf eronder 100 + 99 + 98 + ... 3 + 2 +
1. Als je dat optelt krijg je steeds 101, en dat 100 maal, totaal 100 x 101.
Dan heb je ze allemaal wel dubbel geteld, dus het echte antwoord is maar 50 x
101 of ½ x 100 x 101 = ½ x 100 x (100 + 1). Zou het echt waar zijn, dat bij een
onderste rij van n kruisjes het totaal ½ n (n + 1) is? n = 1 (1 kruisje) geeft ½ x
1 x 2 = 1 (klopt) en n = 6 geeft ½ x 6 x 7 = 21 (klopt). De formule lijkt (!)
dus juist! Wiskundigen willen een echt bewijs. Dat gaat hier volgens volledige
inductie: ALS de formule klopt voor n, stop er dan onderaan n + 1 kruisjes bij en
je krijgt ½ n (n + 1) + n + 1 kruisjes = (½ n + 1) (n + 1) = ½ (n + 2) (n + 1)
= ½ (n + 1) (n + 2) = ½ (n +1) (n + 1 + 1) – precies dezelfde
formule met n + 1 in plaats van n, dan klopt die dus ook voor n + 1. Als de
formule klopt voor n = 1 (hebben we gecheckt), geldt deze DUS ook voor n = 2, n
= 3, enz. Juist, voor elke n dus en ook voor n = 100 of n = 100.000 (en dat tel
je niet meer na met de hand). Leuk stukje wiskunde!
Geen opmerkingen:
Een reactie posten