Zevenendertig negens
U had van mij nog tegoed de rekenpuzzel. De opgave luidde: is een getal van 37 9's deelbaar door 37? En een getal van 38 9's? En 39?
Essentieel
bij dit soort puzzels is, dat je niet gaat navelstaren of neuspeuteren: doe
iets. Pak pen en papier, rekenmachine en ga aan de gang …
1. Je zou een rol behangselpapier kunnen
nemen en daadwerkelijk aan een staartdeling beginnen. Kan, maar dat zou ik niet
doen …
2. Delen heeft met de tafels van
vermenigvuldiging te maken. De tafel van 37 luidt: 1 x 37 = 37, 2 x 37 = 74 en
3 x 37 = 111. Aha, als dat weer keer 9 doet, kom je op 999 (drie negens). Houd
dat voorlopig maar even in de gaten.
3. Je zou ook met de rekenmachine aan de slag
kunnen. Een getal van 37 cijfers past daar niet in, daarom heb ik het getal ook
zo groot gemaakt. Maar begin eens heel voorzichtig: 9 gedeeld door 37 is 0,
rest 9, 99 gedeeld door 37 = 2 rest 25 en 999 gedeeld door 37 = 27: aha, die
deling gaat op! Zie ook punt 1. Voorlopige conclusie: 999 = 9 x 111 = 9 x 3 x
37 = 27 x 37.
4. Toch is die staartdeling nog zo gek niet:
begin met een klein stukje: eerst 0 x 37 = 0, van 9 aftrekken geeft 9, 9
bijhalen geeft 99, eraf 2 x 37 = 74, rest 25, 9 bijhalen geeft 259 en
waarachtig: 259 : 37 = 7, dus na dat stuk komen we op nul uit. En dat gaat zo
verder: 999 999 999 999 etc. gedeeld door 37 geeft aldus 027 027 027 027 etc.
De conclusie is dus, dat als je een 3-voud aan
negens hebt, dat de deling dan opgaat en je rest 0 overhoudt.
5. Een getal van 39 negens is dus deelbaar
door 37.
6. Nu 37 negens. Dat is een getal van 36
negens x 10 en aan het eind nog een 9. Die 36 (3-voud) negens zijn deelbaar
door 37 en als je dat x 10 doet, verandert dat natuurlijk niet. Het enige dat
overblijft is de achterste 9: dat is de rest bij de deling. Het gehele getal is
dus niet deelbaar door 37!
7. Nu 38 negens. Dat is een getal van 36
(3-voud) negens x 100 en dan nog gevolgd door 99. Die 36 negens zijn deelbaar
door 37, dat blijft zo als je dat getal x 100 doet. Als rest blijft over die
99, 2 x 37 = 74 eraf en je houdt 25 als eindrest over.
8.
En hoe zit het nu met een getal van 1.234.567.890.987.654.321 (1 triljoen
tweehonderdvierendertigduizend vijfhonderdzevenenzestig biljoen achthonderdnegentigduizend
negenhonderdzevenentachtig miljoen zeshonderdvierenvijftigduizend driehonderdeenentwintig)
negens? Wel, de som van de cijfers van dat getal is 90 (tel maar na), dat is
een 3-voud en het betreffende getal is dus ook deelbaar door 37. Die
staartdeling kost vele rollen behangselpapier en vele jaren!
9. Een eervolle vermelding voor Edward Vanhove,
die de puzzel feilloos oploste!
10. En dan nu toch maar weer overschakelen naar
taal en spelling!
